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几何模型:条件:如图1,A、B是直线l同旁的两个定点.问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明
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几何模型:
条件:如图1,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图2,角是大家喜爱的一种轴对称图形,它的角平分线所在的直线就是对称轴.现在有∠AOC=90°,OA=3,OB=4,P为∠AOC的角平分线上一动点,请求出AP+PB的最小值.
(2)①如图,∠AOC=30°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,请直接写出△PQR周长的最小值___.
②如图,∠AOB=20°,点M.N分别在边OA、OB上,且OM=ON=2,点P,Q分别在OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是___.
条件:如图1,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图2,角是大家喜爱的一种轴对称图形,它的角平分线所在的直线就是对称轴.现在有∠AOC=90°,OA=3,OB=4,P为∠AOC的角平分线上一动点,请求出AP+PB的最小值.
(2)①如图,∠AOC=30°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,请直接写出△PQR周长的最小值___.
②如图,∠AOB=20°,点M.N分别在边OA、OB上,且OM=ON=2,点P,Q分别在OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是___.
▼优质解答
答案和解析
(1)∠AOC的平分线为OD,作AA′⊥OD交OC于A′,连接BA′交OD于P,连接PA,如图2,则PA+PB最短,此时PA+PB=BA′,
∵OD平分∠AOC,AA′⊥OD,
∴OA′=OA=3,
在Rt△OBA′中,BA′=
=5,
即AP+PB的最小值为5;
(2)①作点P关于OB的对称点P′,点P关于OA的对称点P″,连接P′P″交OB于R,交OA于Q,连接PR、PQ,如图3,
则OP=OP′,OP=OP″,RP=RP′,QP=QP″,
∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″,
∴此时△PQR周长最小,最小值为P′P″的长,
∵OP=OP′,OP=OP″,PP′⊥OB,PP″⊥OA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°,
∴△P′OP″为等边三角形,
∴P′P″=OP′=OP=10,
即△PQR周长的最小值为10;
②作点M关于OB的对称点M′,点N关于OA的对称点N′,连接M′N′交OB于P,交OA于Q,连接PM、NQ,如图4,
则OM=OM′=2,ON=ON′=2,PM=PM′,QN=QN′,
∴MP+PQ+QN=PM′+PQ+QN′=M′N′,
∴此时MP+PQ+QN的值最小,最小值为M′N′,
∵OM=OM′,ON=ON′,MM′⊥OB,NN′⊥OA,
∴∠M′OB=∠AOB=20°,∠N′OA=∠AOB=20°,
∴∠M′ON′=60°,
∴△M′ON′为等边三角形,
∴M′N′=OM′=2,
即MP+PQ+QN的值最小为2.
故答案为10,2.
∵OD平分∠AOC,AA′⊥OD,
∴OA′=OA=3,
在Rt△OBA′中,BA′=
32+42 |
即AP+PB的最小值为5;
(2)①作点P关于OB的对称点P′,点P关于OA的对称点P″,连接P′P″交OB于R,交OA于Q,连接PR、PQ,如图3,
则OP=OP′,OP=OP″,RP=RP′,QP=QP″,
∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″,
∴此时△PQR周长最小,最小值为P′P″的长,
∵OP=OP′,OP=OP″,PP′⊥OB,PP″⊥OA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°,
∴△P′OP″为等边三角形,
∴P′P″=OP′=OP=10,
即△PQR周长的最小值为10;
②作点M关于OB的对称点M′,点N关于OA的对称点N′,连接M′N′交OB于P,交OA于Q,连接PM、NQ,如图4,
则OM=OM′=2,ON=ON′=2,PM=PM′,QN=QN′,
∴MP+PQ+QN=PM′+PQ+QN′=M′N′,
∴此时MP+PQ+QN的值最小,最小值为M′N′,
∵OM=OM′,ON=ON′,MM′⊥OB,NN′⊥OA,
∴∠M′OB=∠AOB=20°,∠N′OA=∠AOB=20°,
∴∠M′ON′=60°,
∴△M′ON′为等边三角形,
∴M′N′=OM′=2,
即MP+PQ+QN的值最小为2.
故答案为10,2.
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