（1）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，过P作PE⊥AC于点E．设P点

Question

（1）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，过P作PE⊥AC于点E．设P点运动时间为t．
①当点P在线段AB上运动时，线段DE的长度是否改变？若不改变，求出DE的值；若改变，请说明理由．
下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题．
解：过Q作QF⊥直线AC于点M
∵PE⊥AC于点E，QF⊥直线AC于点M
∴∠AEP=∠F=90°
（下面请你完成余下的解题过程）
②当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图2画出图形并说明理由．
（2）若将（1）中的“腰长为10cm的等腰直角△ABC”改为“边长为a的等边△ABC”时（其余条件不变），则线段DE的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）
（3）若将（2）中的“等边△ABC”改为“△ABC”（其余条件不变），请你做出猜想：当△ABC满足______条件时，（2）中的结论仍然成立．（直接写出答案，不需要解题过程）

Answer 1

（1）①线段DE的长度不变，
由勾股定理得：AC=√(AB2+BC2)=10√(2)，
过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F，
∵∠QCF=∠ACB=∠A=∠EPA=45°，AP=CQ=t，
∴AE=PE=QF=CF，
∵QF⊥AC，PE⊥AC，
∴QF∥PE，
∴(PE)/(QF)=(ED)/(DF)，
∴DE=DF=(1)/(2)EF=(1)/(2)（EC+CF）=(1)/(2)（EC+AE）=(1)/(2)AC=5√(2)．
②成立，
理由是：在△AEP和△CFQ中

∠AEP＝∠QFE

∠A＝∠QCF

AP＝CQ

，
∴△AEP≌△CFQ，
∴AE=CF，
∴AC=AE+CE=CF+CE=EF，
由①知：DE=DF=(1)/(2)EF，
∴DE=(1)/(2)AC，
∴成立．

（2）与①证法类似：知DE=DF，EF=AC，
∴DE=(1)/(2)a．

（3）当∠A=∠ACB时，
∵∠DCF=∠ACB=∠A，