如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）。（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1， ）。

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点为（1， ），
∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1） ² + ，
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0-1） ² + =4，解得a=- ，
∴所求抛物线的函数关系式为y=- （x-1） ² + ；
（2）P ₁ （1， ），P ₂ （1，- ），P ₃ （1，8），P ₄ （1， ）；
（3）令- （x-1） ² + =0，解得x ₁ =-2，x ₁ =4，
∴抛物线y=- （x-1） ² + 与x轴的交点为A（-2，0）C（4，0），
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴ ，
又∵OC=4，AB=6，
∴MF= ×OC= EB，
设E点坐标为（x，0），则EB=4-x，MF= （4-x），
∴S=S _△BCE -S _△BEF = EB·OC- EB·MF
= EB（OC-MF）
= （4-x）[4- （4-x）]
=- x ² + x+ =- （x-1） ² +3，
∵a=- ＜0，∴S有最大值，
当x=1时，S _最大值 =3，
此时点E的坐标为（1，0）。