（2010年毕节）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,4),直线l是抛物线的对称轴,与x轴交于点D,点P是直线l上一动点．(1)求此抛物线的表

Question

（2010年毕节）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,4),直线l是抛物线的对称轴,与x轴交于点D,点P是直线l上一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)当AP+CP的值最小时,求点P的坐标；再以点A为圆心,AP的长为半径作⊙ A求证BP与⊙A相切；
(3)点P在直线l上运动时是否存在等腰△ACP?若存在,请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在,请说明理由．

Answer 1

(1) 由A、B两点坐标,抛物线可表示为y=a(x+2)(x-4)=ax^2-2ax-8a
得b=-2a,c=-8a
由C点坐标,x=0,y=4,得c=4,所以a=-0.5,b=1
抛物线表达式为:y=-0.5x^2+x+4
(2) 已知抛物线的对称轴为x=1,即直线l方程为：x=1,点D坐标为(1,0)
连线B、C两点,与直线l交于点P,易证这时AP+CP的值最小.
因A、B两点关于直线l对称,所以AP=BP,故AP+CP=BP+CP=BC
在l上任取一点P‘,显然有CP'+BP'>BC,所以AP+CP的值最小.
易得直线BC的方程为y=-x+4,与x=1联立,得P点坐标为(1,3).
可得直线AP的方程为y=x+2,直线AP、BC的斜率之积等于-1,所以两直线垂直.
而AP为圆A的半径,故BP与圆A相切于点P.
(3) 显然等腰△ACP存在.
当AP=CP时,点P为AC的垂直平分线与直线l的交点,易得点P坐标为(1,1)；
当AC=PC时,点P为以C为圆心,AC为半径的圆与直线l的交点,
得点P坐标(1,4+根号19) 或(1,4-根号19)；
当AC=AP时,点P为以A为圆心,AC为半径的圆与直线l的交点,
得点P坐标(1,根号11) 或(1,-根号11)
综合知,所有符合条件的点P坐标有(1,1),(1,4+根号19) ,(1,4-根号19),(1,根号11) ,(1,-根号11)