（2011•宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把

Question

（2011•宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB、CD的中点，观察EF的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．
（2）如果点E分线段AB为(AE)/(EB)=(1)/(3)，EF∥BC交CD于F，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF=______（直接填写结果）；
（3）如果点E分线段AB为(AE)/(EB)=(m)/(n)，EF∥BC交CD 于F，AD=a，BC=b，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接AF并延长交BC的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠GCF，
∵F是CD的中点，
∴DF=FC，
在△ADF与△GCF中，

∠D＝∠GCF

DF＝FC

∠DFA＝∠CFG(对顶角相等)

，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AF=FG，AD=CG，
∴EF∥BC，且EF=(1)/(2)BG，
∵BG=BC+CG，
∴EF=(1)/(2)（AD+BC），
即梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半；

（2）如图2，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵(AE)/(EB)=(1)/(3)，
∴(EG)/(BH)=(AE)/(AB)=(1)/(4)，
∴EG=(BH)/(4)，
∴EF=EG+GF=(BH)/(4)+AD，
∵AD=3，BC=5，
∴EF=(5−3)/(4)+3=3.5；

（3）如图3，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵(AE)/(EB)=(m)/(n)，
∴(EG)/(BH)=(AE)/(AB)=(m)/(m+n)，
∴EG=(m)/(m+n)BH，
∴EF=EG+GF=(m)/(m+n)BH+AD，
∵AD=a，BC=b，
∴EF=(m)/(m+n)×（b-a）+a=(mb+na)/(m+n)．