定义：在三角形所在的平面上任作一条直线，若该直线将这个三角形分割成两部分，且分割后至少有一部分与原三角形相似，则这条直线叫做这个三角形的相似分割线．（1）如图1，在△ABC

Question

定义：在三角形所在的平面上任作一条直线，若该直线将这个三角形分割成两部分，且分割后至少有一部分与原三角形相似，则这条直线叫做这个三角形的相似分割线．
（1）如图1，在△ABC中，已知∠ACP=∠B，则直线CP就是△ABC的相似分割线．
①若∠A=90°，请在图1中作出过点P的△ABC的其余的相似分割线；
②如图2，在△ABC中，若直线CF是△ABC过点C的相似分割线，点P在线段AF（包含点F、不包含点A）上运动，请写出△ABC的过点P的所有相似分割线的条数．
（2）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，H、G是⊙O上不同的两点，B是

AH

的中点，C是

AG

的中点，且AG、AH分别交BC于点D、E两点．
①求证：AG和AH都是△ABC的相似分割线；
②如果AE、AD恰好又是△ABD和△ACE的相似分割线，试说明：此时D、E两点刚好是BC边上的黄金分割点．

Answer 1

（1）①如图1，l₁、l₂、l₃就是所求的相似分割线；
②如图2，△ABC的过点P的所有相似分割线共有4条；

（2）①∵B是

AH

的中点，C是

AG

的中点，
∴∠C=∠BAH，
又∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
同理：△ACD∽△BCA，
∴AH和AG是△ABC的相似分割线；
②∵AE、AD是△ABD和△ACE的相似分割线，
∴△ADE∽△BDA，△ADE∽△CAE，
∴∠B=∠DAE=∠C，
又∵∠C=∠BAH，∠B=∠CAG，
∴∠B=∠DAE=∠C=∠BAH=∠CAG=36°（在△ABC中利用内角和定理），
∴∠BAD=∠BDA=∠CAE=∠CEA=72°，
∴AB=AC=BD=CE，
又∵△ABE∽△CBA，△ACD∽△BCA，
∴AB²=BE•BC，AC²=CD•CB，
∴CE²=BE•BC，BD²=CD•CB，
∴D、E两点刚好是BC边上的黄金分割点．