（1）如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=2cm，在AB边上取一点E，（点E与A，B不重合），连接CE、DE，分矩形ABCD所成的3个三角形都相似．我们把这样的点E叫做矩形ABCD的AB边上的全相似点，在图的AB边

Question

（1）如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=2cm，在AB边上取一点E，（点E与A，B不重合），连接CE、DE，分矩形ABCD所成的3个三角形都相似．我们把这样的点E叫做矩形ABCD的AB边上的全相似点，在图的AB边上画出满足要求的全相似点E，并求AE的长；（画图工具不限，可以简单说明）
（2）对于任意一个矩形ABCD，AB边上是否一定存在这样的全相似点E？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举例说明；
（3）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，当点E是四边形ABCD的AB边上的一个全相似点时．请探究：AE与BE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）如图，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∵三个三角形都相似，
∴∠CED=90°，
以CD为直径作⊙O，与AB相交，交点即为点E，
设AE=x，则BE=AB-AE=5-x，
∵△ADE∽△BEC，
∴(AE)/(BC)=(AD)/(BE)，
即(x)/(2)=(2)/(5−x)，
整理得，x₁=1，x₂=4，
所以，AE的长为1cm或4cm；

（2）由（1）可知，当矩形的长AB＜2AD时，圆与AB没有交点，所以AB边上不存在这样的全相似点E；

（3）AE与BE的数量关系为：AE•BE=AD•BC．
理由如下：如图，∵点E是四边形ABCD的AB边上的一个全相似点，
∴△ADE∽△BEC，
∴(AD)/(BE)=(AE)/(BC)，
∴AE•BE=AD•BC．