如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．（1）求△PEF的边长；（2）若△PEF的边E

Question

如图①，在矩形ABCD中，AB=√(3)，BC=3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．

Answer 1

（1）过P作PQ⊥BC于Q（如图1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC，
∴PQ=AB=√(3)，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60°，
在Rt△PQF中，∠FPQ=30°，
设PF=2x，QF=x，PQ=√(3)，根据勾股定理得：（2x）²=x²+（√(3)）²，
解得：x=1，故PF=2，
∴△PEF的边长为2；

（2）PH-BE=1，理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB=√(3)，BC=3，
∴由勾股定理得AC=2√(3)，
∴CD=(1)/(2)AC，
∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFE=60°，
∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，
∴PA=PH，
∴△APH是等腰三角形，
作ER⊥AD于R（如图2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，
∴PR=(1)/(2)PE=1，
∴PH-BE=PA-BE=PR=1．

（3）结论不成立，
当1＜CF＜2时，PH=1-BE，
当2＜CF＜3时，PH=BE-1．