已知直角梯形ABCD中,角A＝角B＝90度,设AB＝a,AD＝b,BC＝2b,作DE垂直DC,交AB于E,连结EC.1△DCE与△ADE,△DCE与△BCE是否一定相似,如果相似请证明2如果不相似那么ab满足什么关系时他们相似

Question

已知直角梯形ABCD中,角A＝角B＝90度,设AB＝a,AD＝b,BC＝2b,作DE垂直DC,交AB于E,连结EC.
1 △DCE与△ADE,△DCE与△BCE 是否一定相似,如果相似 请证明 2如果不相似 那么ab 满足什么关系时 他们相似

Answer 1

（1）作DF⊥BC于F,∠CDF＝90°-FDE＝∠DEA→△FCD∽△AED
AD/DF＝AC/FC→b/a=AE/b→AE＝b2/a
CD=√(DF2+FC2)= √(a2+b2)
DE=√(AD2+AE2)= √[b2+ (b2/a)2]＝√[（a2+b2）b2/a2]= b/a*√（a2+b2）
CD/AD=√(a2+b2)/b
DE/AE=[b/a*√（a2+b2）]/( b2/a)= √(a2+b2)/b
即CD/AD= DE/AE,∠CDE＝∠A＝90°,故△DCE∽△AED
（2）要△DCE∽BEC,心需∠CEB＝∠CED,因△DCE∽△AED即∠CED＝∠DEA
因此∠CEB＝∠CED＝∠DEA＝180°/3＝60°→∠ADE=30°
sin∠ADE=AE/DE=1/2→(b2/a)/[b/a*√（a2+b2）]=1/2→b/√（a2+b2）=1/2→a=(√3)b