如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的

Question

如图，已知椭圆 的焦点和上顶点分别为 、 、 ，我们称 为椭圆 的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
（1）已知椭圆 和 ，判断 与 是否相似，如果相似则求出 与 的相似比，若不相似请说明理由；
（2）若与椭圆 相似且半短轴长为 的椭圆为 ，且直线 与椭圆为 相交于两点 (异于端点)，试问：当 面积最大时， 是否与 有关？并证明你的结论.
（3）根据与椭圆 相似且半短轴长为 的椭圆 的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；

Answer 1

见解析.

第一问中利用根据已知的的定义进行判定特征三角形是否相似即可
第二问中，设直线方程，借助于联立方程组，和韦达定理可以表示斜率之积，然后可知为定植
第三问中，利用类比推理的思想可知两个相似椭圆之间的性质有：           
两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；
分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；
两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；
过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比
（1）由题意可知，椭圆 的焦点和上顶点分别为 、 ，我们称 为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比，所以椭圆 与 相似. ………2分
因为 的特征三角形是腰长为4，底边长为 的等腰三角形，
而椭圆 的特征三角形是腰长为2，底边长为 的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1                         ……… 4分
（2）椭圆5 的方程为： .
0 = 与b无关                                 -----------6分
（3）椭圆5 的方程为： .        
两个相似椭圆之间的性质有：           
两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；
分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相

作业帮用户 2017-09-24

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