如图，直线y=−12x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）求Rt△ABC的面积；（2）说明不论a取任何实数，

Question

如图，直线y=−(1)/(2)x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求Rt△ABC的面积；
（2）说明不论a取任何实数，△BOP的面积都是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer 1

（1）令y=−(1)/(2)x+1中x=0，得点B坐标为（0，1）；
令y=0，得点A坐标为（2，0），
由勾股定理可得AB=√(5)，
故可得S_△ABC=(1)/(2)AB•AC=(5)/(2)；

（2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，
所以S_△BOP=(1)/(2)为常数；

（3）分两种情况：
①当点P在第四象限时，
∵S_△ABO=1，S_△APO=-a，S_△BOP=(1)/(2)，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=(5)/(2)，
即1-a-(1)/(2)=(5)/(2)，
解得a=-2，
②当点P在第一象限时，
∵S_△ABO=1，S_△APO=a，S_△BOP=(1)/(2)，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△APO-S_△ABO=S_△ABC=(5)/(2)，
即(1)/(2)+a-1=(5)/(2)，
解得a=3．
综上可得a=-2或3．