已知M是△ABC内的一点,且S△ABC=二分之根号三减二分之一.定义F(M)=(x,y,z),其中x,y,z分别为△MBC,△MCA,△MAB的面积,若F(M)=(x,y,½),则1/2x+2/y的最小值为多少?

Question

已知M是△ABC内的一点,且S△ABC=二分之根号三减二分之一.定义F(M)=(x,y,z),其中x,y,z分别为△MBC,△MCA,△MAB的面积,若F(M)=(x,y,½),则1/2x+2/y的最小值为多少?

Answer 1

因S△ABC=S△MBC+S△MCA+S△MAB
=x+y+z
所以x+y+1/2=√3/2-1/2
所以x+y=√3/2-1
【你的题目有错,因x,y,z表示△MBC,△MCA,△MAB的面积,则x,y,z>0,所以x+y>0
而x+y=√3/2-1<0,因此有错）
若题目为S△ABC=2√3-1/2
则x+y+1/2=2√3-1/2
因此x+y=2√3-1
所以
1/（2x）+2/y=1/（2√3-1）*[1/（2x）+2/y]*(2√3-1)
=1/（2√3-1）*[1/（2x）+2/y]*(x+y)
=(2√3+1)/11*[5/2+y/(2x)+2x/y]
≥(2√3+1)/11*[5/2+2]
=(2√3+1)/11*9/2
=9(2√3+1)/22
所以1/（2x）+2/y的最小值为9(2√3+1)/22