在坐标轴上有一以原点为圆心半径为1的圆,在圆外有一点A（x,y）,过A点分别作圆的两条切线交于B、C两点,求直线AB与AC的斜率最好是用到求点到直线距离这个方法

Question

在坐标轴上有一以原点为圆心半径为1的圆,在圆外有一点A（x,y）,过A点分别作圆的两条切线交于B、C两点,求直线AB与AC的斜率
最好是用到求点到直线距离这个方法

Answer 1

可知圆的参数方程是x=sint,y=cost
所以 B(sinb,cosb),C(sinc,cosc)
AB垂直OB
AB与OB的斜率乘积为 -1
[(y-cosb)/(x-sinb)]*(cosb/sinb)=-1
ycosb-cosbcosb+xsinb-sinbsinb=0
ycosb+xsinb=1
同理可得：ycosc+xsinc=1
ycosb=1-xsinb
y^2(cosb)^2=1+(xsinb)^2-2xsinb
y^2-y^2(sinb)^2=x^2(sinb)^2-2xsinb+1
(x^2+y^2)(sinb)^2-2xsinb+1-y^2=0
利用求根公式,sinb=[x±y√(x^2+y^2-1)]/(x^2+y^2)
所以
当 sinb=[x+y√(x^2+y^2-1)]/(x^2+y^2) 时
cosb=(1-xsinb)/y=[y-x√(x^2+y^2-1)]/(x^2+y^2)
AB斜率为：[y√(x^2+y^2-1)+x]/[x√(x^2+y^2-1)-y]
当 sinb=[x-y√(x^2+y^2-1)]/(x^2+y^2) 时
cosb=(1-xsinb)/y=[y+x√(x^2+y^2-1)]/(x^2+y^2)
AB斜率为：[y√(x^2+y^2-1)-x]/[x√(x^2+y^2-1)+y]
即两条切线的斜率分别是：
[y√(x^2+y^2-1)+x]/[x√(x^2+y^2-1)-y]
[y√(x^2+y^2-1)-x]/[x√(x^2+y^2-1)+y]