如图，在三棱锥P-ABC中，除棱PC外，其余棱均等长，M为棱AB的中点，O为线段MC上靠近点M的三等分点．（1）若PO⊥MC，求证：PO⊥平面ABC；（2）试在平面PAB上确定一点Q，使得OQ∥平面PAC，且OQ∥

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，除棱PC外，其余棱均等长，M为棱AB的中点，O为线段MC上靠近点M的三等分点．
（1）若PO⊥MC，求证：PO⊥平面ABC；
（2）试在平面PAB上确定一点Q，使得OQ∥平面PAC，且OQ∥平面PBC，并给出证明．

Answer 1

（1）证明：由题意得：O为△ABC的中心，则CM⊥AB，
∵M为棱AB的中点，PA=PB，∴PM⊥AB，…（2分）
又PM∩CM=M，∴AB⊥平面PMC，…（4分）
又PO⊂平面PMC，∴AB⊥PO．
又PO⊥MC，MC∩AB=M，
∴PO⊥平面ABC…（7分）
（2）∵O为线段MC上靠近点M的三等分点，
∴Q为线段MP上靠近M点的三等分点时，
OQ∥平面PAC，且OQ∥平面PBC…（9分）
证明如下：
∵(MQ)/(QP)＝(MO)/(OC)，∴OQ∥PC，又OQ⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴OQ∥平面PAC…（12分）
∵OQ∥PC，又OQ⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，
∴OQ∥平面PBC．…（14分）