如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于．

Question

如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于______．

Answer 1

如图，设点O是△APQ的外接圆的圆心，连接OP，OQ，作OH⊥PQ于点H，过点A作AD⊥BC于点D，
∴PH=QH= (1)/(2) PQ，
∵OP=OQ，
∴∠POH= (1)/(2) ∠POQ，
∵∠POQ=2∠BAC，
∴∠POH=∠BAC，
在Rt△POH中，PH=OP•sin∠POH=OA•sin∠BAC，
∴PQ=2OA•sin∠BAC，
即当OA最小时，PQ最小，
∵当AD是直径时，即OA= (1)/(2) AD时，PQ最小，
设BD=x，则CD=8-x，
∵在Rt△ABD中，AD ² =AB ² -AD ² ，
在Rt△ACD中，AD ² =AC ² -CD ² ，
∴25-x ² =49-（8-x） ² ，
解得：x= (5)/(2) ，
∴AD=

A B 2 -B D 2

= (53)/(2) ，
∴OA= (53)/(4) ，
设AC边上的高为h，
则AC•h=BC•AD，
∴h= (BC•AD)/(AC) = (203)/(7) ，
∴sin∠BAC= (h)/(AB) = (43)/(7) ，
∴PQ=2OA•sin∠BAC=2× (53)/(4) × (43)/(7) = (30)/(7) ．
故答案为： (30)/(7) ．