△ABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD=BE=AC，△BDE的外接圆与△ABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF=AF+CF．

Question

△ABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD=BE=AC，△BDE的外接圆与△ABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF=AF+CF．

Answer 1

证明：延长AF到M，使得FM=CF，连CM，DF，在△EBD与△FCM中，由于BE=BD，
FM=CF，因此△EBD、△FCM都是等腰三角形，
∵∠EBD=∠MFC，
∴∠BED=∠CMF，
又∠BED=∠BFD，
∴∠CMF=∠BFD，
在△BFD与△AMC中，
∠FBD=∠MAC，∠BFD=∠CMF，BD=AC，
∴△BFD≌△AMC，
∴BF=AM=AF+FM，
又FM=CF，
∴BF=AF+CF．