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(2014•永安市质检)阅读理解:课本在研究“圆周角和圆心角的关系”时,有以下内容.议一议如图1,其中O为圆心,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的
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(2014•永安市质检)阅读理解:课本在研究“圆周角和圆心角的关系”时,有以下内容.
【议一议】如图1,其中O为圆心,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同伴交流.小亮首先考虑了一种特殊情况,即∠ABC的一边BC经过圆心O(图2).
∵∠AOC是△ABO的外角,
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO.
∴∠AOC=2∠ABO,
即∠ABC=
∠AOC.
如果∠ABC的两边都不经过圆心O(图1,图3),那么结果会怎样?你能将图1与图3的两种情况分别转化成图2的情况去解决吗?
自主证明:请在图1和图3中选择一种情况解决上述问题(即∠ABC与∠AOC的大小关系),写出证明过程.
拓展探究:将图1中的弦AB绕点B旋转,当AB与⊙O相切时(图4),试探究∠ABC与∠BOC的大小关系?写出你的结论,并说明理由.
【议一议】如图1,其中O为圆心,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同伴交流.小亮首先考虑了一种特殊情况,即∠ABC的一边BC经过圆心O(图2).
∵∠AOC是△ABO的外角,
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO.
∴∠AOC=2∠ABO,
即∠ABC=
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如果∠ABC的两边都不经过圆心O(图1,图3),那么结果会怎样?你能将图1与图3的两种情况分别转化成图2的情况去解决吗?
自主证明:请在图1和图3中选择一种情况解决上述问题(即∠ABC与∠AOC的大小关系),写出证明过程.
拓展探究:将图1中的弦AB绕点B旋转,当AB与⊙O相切时(图4),试探究∠ABC与∠BOC的大小关系?写出你的结论,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
①连接BO,并延长BO交⊙O于点D,如图1,
由小亮的证明知:∠ABD=
∠AOD,∠CBD=
∠COD.
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD
=
∠AOD+
∠COD
=
(∠AOD+∠COD)
=
∠AOC.
②连接BO,并延长BO交⊙O于点D,如图3,
由小亮的证明知:∠ABD=
∠AOD,∠CBD=
∠COD.
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD
=
∠AOD-
∠COD
=
(∠AOD-∠COD)
=
∠AOC.
拓展探究:∠ABC=
∠BOC,
理由如下:
延长BO交⊙O于点E,连接EC,由小亮的证明知:∠BEC=
∠BOC.
∵BA与⊙O相切于点B,
∴∠ABO=90°,即∠ABC+∠CBO=90°.
又∵BE是⊙O的直径,
∴∠BCE=90°,即∠BEC+∠CBO=90°.
∴∠ABC=∠BEC,
∴∠ABC=
∠BOC.
由小亮的证明知:∠ABD=
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∴∠ABC=∠ABD+∠CBD
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②连接BO,并延长BO交⊙O于点D,如图3,
由小亮的证明知:∠ABD=
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∴∠ABC=∠ABD-∠CBD
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拓展探究:∠ABC=
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理由如下:
延长BO交⊙O于点E,连接EC,由小亮的证明知:∠BEC=
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∵BA与⊙O相切于点B,
∴∠ABO=90°,即∠ABC+∠CBO=90°.
又∵BE是⊙O的直径,
∴∠BCE=90°,即∠BEC+∠CBO=90°.
∴∠ABC=∠BEC,
∴∠ABC=
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