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正方形ABCD中,点F为正方形ABCD内的点,△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合.(1)如图①,若正方形ABCD的边长为2,BE=1,FC=3,求证:AE∥BF.(2)如图②,若点F为正方形ABCD对角
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正方形ABCD中,点F为正方形ABCD内的点,△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合.
(1)如图①,若正方形ABCD的边长为2,BE=1,FC=
,求证:AE∥BF.
(2)如图②,若点F为正方形ABCD对角线AC上的点(点F不与点A、C重合),试猜想:AE2+AF2=2BF2是否成立?如果成立,请加以证明;如果不成立,试举一反例说明.
(1)如图①,若正方形ABCD的边长为2,BE=1,FC=
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(2)如图②,若点F为正方形ABCD对角线AC上的点(点F不与点A、C重合),试猜想:AE2+AF2=2BF2是否成立?如果成立,请加以证明;如果不成立,试举一反例说明.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴BE=BF=1,∠EBF=∠ABC=90°,∠AEB=∠BFC
在△BFC中,
∵BF2+FC2=12+(
)2=4,
BC2=22=4
∴BF2+FC2=BC2
∴∠BFC=90°,
∴∠AEB+∠EBF=180°,
∴AE∥BF;
(2)AE2+AF2=2BF2成立;
理由:∵AC是正方形ABCD的角平分线,
∴∠BCA=∠BAC=45°,
∴∠EAF=45°+45°=90°,
∴AE2+AF2=EF2,
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合,
∴BE=BF,∠EBF=90°,
∴2BF2=EF2,
∴AE2+AF2=2BF2.
∴BE=BF=1,∠EBF=∠ABC=90°,∠AEB=∠BFC
在△BFC中,
∵BF2+FC2=12+(
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BC2=22=4
∴BF2+FC2=BC2
∴∠BFC=90°,
∴∠AEB+∠EBF=180°,
∴AE∥BF;
(2)AE2+AF2=2BF2成立;
理由:∵AC是正方形ABCD的角平分线,
∴∠BCA=∠BAC=45°,
∴∠EAF=45°+45°=90°,
∴AE2+AF2=EF2,
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合,
∴BE=BF,∠EBF=90°,
∴2BF2=EF2,
∴AE2+AF2=2BF2.
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