如图,正方形ABCD内有一点P,且PA=1,PB=根号2,PC=根号3,求∠APB的度数（注意：AC不是对角线）

Question

如图,正方形ABCD内有一点P,且PA=1,PB=根号2,PC=根号3,求∠APB的度数（注意：AC不是对角线）

Answer 1

本题用旋转法可以巧解.
将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合,得到一个新的△AQB,可知：BQ=PB=√2,QA=PC=√3,∠ABQ=∠PBC,
由于∠PBC+∠ABP=90°,所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°,则△PBQ是一个等腰直角三角形,
故：∠BPQ=45°,
由勾股定理,得:PQ²=PB²+BQ²=﹙√2﹚²+﹙√2﹚²=4,
另外,在△APQ中,PA²+AQ²=4=PQ²由勾股定理知：△APQ是一个以∠PAQ为直角的直角三角形,即∠PAQ=90°.且 cos∠APQ=0.5,∴∠APQ=60°
综上得：∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+45°=105°.