双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形.求证:双心四边形的两个心与对角线的交点共线.

Question

双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形.求证:双心四边形的两个心与对角线的交点共线.

Answer 1

设四边形ABCD内切圆为⊙O1、外接圆为⊙O.OO1与BD交于E1、OO1与AC交于E2,
则OE1/O1E1=三角形OBD的面积/三角形O1BD的面积,
OE2/O1E2=三角形OAC的面积/三角形O1AC的面积.
若有三角形OBD的面积/三角形O1BD的面积=三角形OAC的面积/三角形O1AC的面积（*）
则OE1/O1E1=OE2/O1E2,于是E1=E2,故O、O1、E三点共线.
因此,只需证明（*）式
设⊙O1半径为r,⊙O半径为R.则
三角形OBD的面积/三角形OAC的面积=(1/2×R的平方×∠BOD的正弦）/(1/2×R的平方×∠AOC的正弦）=2C的正弦/2B的正弦,
三角形O1BD的面积=1/2×BO1×DO1×∠BO1D的正弦
=1/2×r/(B/2的正弦)×r/(D/2的正弦)×(B/2+D/2+C)的正弦
=1/2×r的平方×1/(B/2的正弦×B/2的余弦）×（派/2+C)的正弦
=r的平方×C的余弦/B的正弦
同理
三角形O1AC的面积=r的平方×B的余弦/C的正弦
所以三角形O1BD的面积/三角形O1AC的面积
=C的正弦×C的余弦/B的正弦×B的余弦
=2C的正弦/2B的正弦=三角形OBD的面积/三角形OAC的面积
故命题得证
注：O为字母,非零