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若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1．
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若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1．
▼优质解答
答案和解析
（a+b）3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
∵a3+b3=2⇒6=3×2=3（a3+b3）
∴（a+b）3-23=3（a2b+ab2-a3-b3）=3[ab（a+b）-（a3+b3）]
又∵a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
∴（a+b）3-23=3（a+b）[ab-（a2-ab+b2）]
=3（a+b）（-a2+2ab-b2）=-3（a+b）（a-b）2．
∵a＞0，b＞0，得a+b＞0，-3＜0且（a-b）2≥0
∴-3（a+b）（a-b）2≤0
∴（a+b）3-23≤0⇒（a+b）3≤23
∴结合不等式的基本性质，得a+b≤2，
∵a、b是正数，
∴2
≤a+b≤2，可得ab≤1．命题得证．
∵a3+b3=2⇒6=3×2=3（a3+b3）
∴（a+b）3-23=3（a2b+ab2-a3-b3）=3[ab（a+b）-（a3+b3）]
又∵a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
∴（a+b）3-23=3（a+b）[ab-（a2-ab+b2）]
=3（a+b）（-a2+2ab-b2）=-3（a+b）（a-b）2．
∵a＞0，b＞0，得a+b＞0，-3＜0且（a-b）2≥0
∴-3（a+b）（a-b）2≤0
∴（a+b）3-23≤0⇒（a+b）3≤23
∴结合不等式的基本性质，得a+b≤2，
∵a、b是正数，
∴2
| ab |
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