设x，y都是正数，且x+y>2，试用反证法证明：1+xy<2和1+yx<2中至少有一个成立．

Question

设x，y都是正数，且x+y>2，试用反证法证明：(1+x)/(y)<2和(1+y)/(x)<2中至少有一个成立．

Answer 1

证明：假设(1+x)/(y)<2和(1+y)/(x)<2都不成立，即(1+x)/(y)≥2且(1+y)/(x)≥2，…（2分）
∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x，…（5分）
∴1+x+1+y≥2x+2y，…（8分）
∴x+y≤2…（10分）
这与已知x+y>2矛盾…（12分）
∴假设不成立，即(1+x)/(y)<2和(1+y)/(x)<2中至少有一个成立…（14分）