已知函数f（x）=ax+x−2x+1（a＞1）（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根．

Question

已知函数f（x）=a^x+(x−2)/(x+1)（a＞1）
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根．

Answer 1

（1）由于函数f（x）=a^x+(x−2)/(x+1)（a＞1）=a^x+1-(3)/(x+1)，
而函数 y=a^x（a＞1）和函数y=-(3)/(x+1) 在（-1，+∞）上都为增函数，
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
（2）假设f（x）=0有负数根为x=x₀，且x₀＜0，则有f（x₀）=0，故有ax0+1=(3)/(x0+1) ①．
由于函数y=a^x+1在R上式增函数，且a⁰+1=2，∴ax0+1＜2．
由于函数y=(3)/(x+1) 在（-1，+∞）上是减函数，当x₀∈（-1，0）时，(3)/(0+1)=3，∴(3)/(x0+1)＞3，
∴①根本不可能成立，故①矛盾．
由于由于函数y=(3)/(x+1) 在（-∞，-1）上是减函数，当x₀∈（-∞，-1）时，(3)/(x0+1)＜0，
而，ax0+1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．
综上可得，①根本不可能成立，故假设不成立，故f（x）=0没有负数根．