直三棱柱ABC-A1B1C1的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，D为AC的中点（1）求证：AB1∥平面BDC1（2）求证：BD⊥AC1（3）求直三棱柱的体积．

Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，D为AC的中点
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁
（2）求证：BD⊥AC₁
（3）求直三棱柱的体积．

Answer 1

（1）证明：取A₁C₁中点O，连接OB₁，AO，
∵D为AC的中点，∴四边形DAOC₁为平行四边形，
∴AO∥C₁D，又四边形BDOB₁为平行四边形，
∴BD∥OB₁，∴平面AOB₁∥平面BDC₁，AB₁⊂平面AOB₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
（2）证明：∵由三视图知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁⊂平面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，∴BC₁⊥A₁C；
∵由侧视图知△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁．
（3）由三视图知：直三棱柱的高为2，
底面是直角边长为2的等边三角形，
∴体积V=(1)/(2)×2×2×2=4．