1.设正三棱柱体积为V,当其表面积最小时,底面边长为多少?2.一个几何体的主视图与侧视图是全等的矩形且周长为48,俯视图为正方形,当几何体体积最大时,其外接球的表面积是多少?

Question

1.设正三棱柱体积为V,当其表面积最小时,底面边长为多少?
2.一个几何体的主视图与侧视图是全等的矩形且周长为48,俯视图为正方形,当几何体体积最大时,其外接球的表面积是多少?

Answer 1

1 令正三棱柱高H底面边长D,则V等于四分之根号三乘于D的平方乘于H
又表面积S=H*3D+2*四分之根号三乘于D的平方
将H用V和D代,得S=四根号三乘于V除以D+二分之根号三乘于D的平方
=二根号三乘于V除以D+二根号三乘于V除以D+二分之根号三乘于D的平方〉=三乘以三次根号下的六根号三乘于V的平方（基本不等式 三元）
当且仅当 二根号三乘于V除以D=二分之根号三乘于D的平方 成立
即 D=三次根号下的4V
2 该几何体为正四棱柱 令几何体长宽为D（俯视图为正方形）高H,则2*（D+H）=48 H=24-D
几何体体积V=H*D*D=（24-D）*D*D=1/2*（48-2D）*D*D 小于等于 （1/2）*[（48-2D+D+D）/3]的三次方=8*16*16
当且仅当 48-2D=D 即 D=16 H=8 成立
其外接球的半径=（1/2）*根号下的（8*8+16*16+16*16）
外接球的表面积=8*8+16*16+16*16