（2008•扬州二模）一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M，N分别是AF，BC的中点）．（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求多面体A-CDEF的体积．

Question

（2008•扬州二模）一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M，N分别是AF，BC的中点）．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积．

Answer 1

由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，
且AB=BC=BF=2，DE=CF=2√(2)，∴∠CBF=(π)/(2)．
（1）证明：取BF的中点G，连接MG、NG，
由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，
∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．

（2）取DE的中点H．
∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE-BCF中，
平面ADE⊥平面CDEF，
平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．
∴多面体A-CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH=√(2)．
S矩形CDEF=DE•EF=4√(2)，
∴棱锥A-CDEF的体积为
V=(1)/(3)•S_矩形CDEF•AH=(1)/(3)×4√(2)×√(2)=(8)/(3)．