（2012•扬州模拟）如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所的平面互相垂直，AE⊥BE，M、N分别是DE、AB的中点．求证：（Ⅰ）MN∥平面BCE；（Ⅱ）AE⊥MN．

Question

（2012•扬州模拟）如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所的平面互相垂直，AE⊥BE，M、N分别是DE、AB的中点．
求证：
（Ⅰ）MN∥平面BCE；
（Ⅱ）AE⊥MN．

Answer 1

（Ⅰ）取CE中点的P，连PM、PB，
∵在△CDE中，P，M分别是CE，DE中点知，
∴PM∥CD，且PM=(1)/(2)CD，
又∵矩形ABCD中，NB∥CD，且NB=(1)/(2)CD，
∴PM∥NB，且PM=NB，可得四边形PMNB是平行四边形，
∴MN∥PB，
∵PB⊆平面BEC，MN⊄平面BEC，
∴MN∥平面BCE；
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，
又∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE，
∵AE⊥BE，BC、BE为平面BCE内的相交直线，
∴AE⊥平面BCE，
∵PB⊆平面BCE，∴AE⊥PB，
∵MN∥PB，∴AE⊥MN．