设椭圆x2╱a2＋y2╱b21=1（a＞b＞0）的左焦点为F,离心率为√3/3,过点F且与X轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√3/31.求椭圆方程2.设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为K的直线l与椭圆交

Question

设椭圆x2╱a2＋y2╱b2 1=1（a＞b＞0）的左焦点为F,离心率为√3/3,过点F且与X轴垂
直的直线被椭圆截得的线段长为4√3/3
1.求椭圆方程
2.设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为K的直线l与椭圆交于C,D两点,若向量AC×DB+AD×CB=8,求直线方程.

Answer 1

e^2=c^2/a^2=1/3.
左焦点坐标是(-c,0),把x=-c代入到椭圆方程中有c^2/a^2+y^2/b^2=1
y^2=b^2(1-c^2/a^2)=b^2*2/3
y=(+/-)b*根号6/3
故有2b*根号6/3=4根号3/3,即有b=根号2
c^2=a^2-b^2=3c^2-2
c^2=1,a^2=3
故椭圆方程是x^2/3+y^2/2=1.
故A坐标是(-根号3,0),B坐标是(根号3,0),设过F的直线方程是y=k(x+c)=k(x+1)
设C坐标是(x1,y1),D(x2,y2)
向量AC=(X1+根号3,y1),DB=(根号3-x2,-y2),AD=(x2+根号3,y2),CB=(根号3-x1,-y1)
AC*DB+AD*CB=8
即有(x1+根号3)(根号3-x2)-y1y2+(x2+根号3)*(根号3-x1)-y1y2=8
根号3*(x1-x2)+3-x1x2+根号3(x2-x1)-x1x2+3-2y1y2=8
x1x2+y1y2=-1
y=kx+k代入到椭圆方程中有2x^2+3(k^2x^2+2k^2x+k^2)=6
(2+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-6=0
x1x2=(3k^2-6)/(2+3k^2),x1+x2=-6k^2/(2+3k^2)
y1y2=k^2(x1x2+x1+x2+1)=k^2[(-3k^2-6)/(2+3k^2)+1]=k^2(-4)/(2+3k^2)
故有(3k^2-6)/(2+3k^2)-4k^2/(2+3k^2)=-1
3k^2-6-4k^2=-2-3k^2
4k^2=4
k=(+/-)1
即直线方程是y=x+1或y=-x-1