如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为5−12．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e=5+12

Question

如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为(√(5)−1)/(2)．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e=

(√(5)+1)/(2)

(√(5)+1)/(2)

．

Answer 1

在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，
由题意可知，|BF|²+|AB|²=|AF|²，
∴b²+c²+c²=a²+c²+2ac，
∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，
∴e²-e-1=0，解得 (√(5)+1)/(2)，或 e＝(−√(5)+1)/(2)（舍去）．
故黄金双曲线的离心率e得 (√(5)+1)/(2)．
故答案为：(√(5)+1)/(2)．