直线y=-3x与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A.32B.3−12C.3-1D.4-23

Question

直线y=-√(3)x与椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（　　）
A. (√(3))/(2)
B. (√(3)−1)/(2)
C. √(3)-1
D. 4-2√(3)

Answer 1

由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．
直线y=-√(3)x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为√(3)c．
由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+√(3)c=2a．
∴e＝(c)/(a)＝(2)/(1+√(3))＝√(3)−1
故选C．