已知椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率根号2/2,且经过点(2,根号2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若AC的斜率乘以BD的斜率=负b^2/a^2求（1）向量OA乘以向量OB的最值（2）求证：四边

Question

已知椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率根号2/2,且经过点(2,根号2)
四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若AC的斜率乘以BD的斜率=负b^2/a^2求
（1）向量OA乘以向量OB的最值
（2）求证：四边形ABCD的面积为定值

Answer 1

(1)设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),则
AC的斜率*BD的斜率=bsinα/(acosα)*bsinβ/(acosβ)=-b^2/a^2,
∴cosαcosβ+sinαsinβ=0,
∴cos(α-β)=0,α-β=(k+1/2)π,k∈Z,
k为偶数时sinα=cosβ,cosα=-sinβ;k为奇数时,sinα=-cosβ,cosα=sinβ.
∴向量OA*OB=a^2*cosαcosβ+b^2*sinαsinβ
=土(a^-b^2)sinβcosβ
=土（c^2/2)sin2β,
∴所求最大值=(a^2-b^2)/2,最小值=-(a^2-b^2)/2.
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD的面积S=2|OA||OB|sinAOB,
由(1),OA=土(-asinβ,bcosβ),
∴|OA|^2=a^2*(sinβ)^2+b^2*(cosβ)^2,|OB|^2=a^2*(cosβ)^2+b^2*(sinβ)^2,
(sinAOB)^2=1-(cosAOB)^2=1-(OA*OB)^2/(|OA|^2*|OB|^2),
∴(S/2)^2=|OA|^2*|OB|^2-(OA*OB)^2
=[a^2*(sinβ)^2+b^2*(cosβ)^2][a^2*(cosβ)^2+b^2*(sinβ)^2]-[（c^2/2)sin2β]^2
=(a^4+b^4)(sinβcosβ)^2+(ab)^2*[(sinβ)^4+(cosβ)^4]-[（c^2/2)sin2β]^2
=(a^4+b^4)(sin2β)^2/4+(ab)^2*[1-(1/2)(sin2β)^2]-[（c^2/2)sin2β]^2
=(a^2-b^2)^2/4*(sin2β)^2-[（c^2/2)sin2β]^2+(ab)^2
=(ab)^2,
∴S=2ab,为定值.