（2014•福建）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别

Question

（2014•福建）已知双曲线E：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l₁：y=2x，l₂：y=-2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l₁，l₂于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）因为双曲线E的渐近线分别为l₁：y=2x，l₂：y=-2x，
所以(b)/(a)=2．
所以(√(c2−a2))/(a)=2．
故c=√(5)a，
从而双曲线E的离心率e=(c)/(a)=√(5)．
（2）由（1）知，双曲线E的方程为(x2)/(a2)-(y2)/(4a2)=1．
设直线l与x轴相交于点C，
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，
所以(1)/(2)|OC|•|AB|=8，
因此(1)/(2)a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为(x2)/(4)-(y2)/(16)=1．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为(x2)/(4)-(y2)/(16)=1也满足条件．
设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜-2；
则C（-(m)/(k)，0），记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

作业帮用户 2017-10-06

问题解析

（1）依题意，可知(b)/(a)=2，易知c=√(5)a，从而可求双曲线E的离心率；
（2）由（1）知，双曲线E的方程为(x2)/(a2)-(y2)/(4a2)=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为(x2)/(4)-(y2)/(16)=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S_△OAB=(1)/(2)|OC|•|y₁-y₂|=8可证得：双曲线E的方程为(x2)/(4)-(y2)/(16)=1，从而可得答案．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．

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