求曲线y=(x+3)/[(x-1)(x-2)]的渐近线找不到思路啊.

Question

求曲线y=(x+3)/[(x-1)(x-2)]的渐近线
找不到思路啊.

Answer 1

恰有三条渐近线: x=1, x=2, y=0.
渐近线的定义是这样的直线: 当它和原点的距离趋近∞时, 它和曲线的距离趋近0. 由定义可见, 我们只需考虑在什么位置曲线y跟远点的距离趋近∞.
首先我们看y的大致形状: 因为y有两个奇异点, 即分母的零点, 1和2, 所以y由三支连续曲线构成, 分别位于直线x=1左侧, 直线x=1和直线x=2之间, 以及直线x=2右侧. 我们称它们为y的左支, 中支, 和右支. 显然, y的渐近线必须是至少一个分支的渐近线. 这引导我们求每个分支的渐近线.
事实上, 这三个分支的渐近线都容易求.
左支只有在点x=-∞和点x=1处可能使曲线y离原点的距离趋近∞. 所以左支最多有两条渐近线:
当x->-∞, 我们有y->0, y'->0, 所以左支有渐近线y=0;
当x->1-, 我们有y->+∞, 所以左支有渐近线x=1.
中支只有在点x=1和点x=2处可能使曲线y离原点的距离趋近∞. 所以中支最多有两条渐近线:
当x->1+, 我们有y->-∞, 所以中支有渐近线x=1;
当x->2-, 我们有y->-∞, 所以中支有渐近线x=2.
右支只有在点x=2和点x=+∞处可能使曲线y离原点的距离趋近∞. 所以右支最多有两条渐近线:
当x->2+, 我们有y->+∞, 所以右支有渐近线x=2;
当x->+∞, 我们有y->0, y'->0, 所以右支有渐近线y=0.
综上所述, y最多有3条渐近线: x=1, x=2和y=0. 容易检验, 它们都满足渐近线定义. 所以它们即为所求.