在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交于P、Q

Question

在平面直角坐标系 中，已知双曲线 .
（1）过 的左顶点引 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线 l 交 于 P 、 Q 两点，若 l 与圆 相切，求证： OP ⊥ OQ ；（6分）
（3）设椭圆 . 若 M 、 N 分别是 、 上的动点，且 OM ⊥ ON ，求证： O 到直线 MN 的距离是定值.（6分）

Answer 1

（1） ；（2）见解析；（3）定值为 .

（1）双曲线 ，左顶点 ，渐近线方程： .
过点 A 与渐近线 平行的直线方程为 ，即 .
解方程组 ，得 .                       2分
所以所求三角形的面积1为 .               4分
（2）设直线 PQ 的方程是 .因直线与已知圆相切，
故 ，即 .                                       6分
由 ，得 .
设 P ( x ₁ , y ₁ )、 Q ( x ₂ , y ₂ )，则 .
又 ，所以

，故 OP ⊥ OQ .         10分
（3）当直线 ON 垂直于 x 轴时，| ON |=1，| OM |= ，则 O 到直线 MN 的距离为 .
当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON 的方程为 （显然 ），则直线 OM 的方程为 .
由 ，得 ，所以 .
同理 .                                        13分
设 O 到直线 MN 的距离为 d ，因为 ，
所以 ，即 d = .
综上， O 到直线 MN 的距离是定值.                          16分