小球在磁场中受重力下落的轨迹问题质量为M的小球处在足够大的水平方向的匀强磁场中,磁感应强度为B,小球由静止自由下落,重力加速度为g,球小球运动轨迹方程.（以小球为原点,垂直于磁场

Question

小球在磁场中受重力下落的轨迹问题
质量为M的小球处在足够大的水平方向的匀强磁场中,磁感应强度为B,小球由静止自由下落,重力加速度为g,球小球运动轨迹方程.（以小球为原点,垂直于磁场方向建立坐标系,Y轴竖直向上）
我差点忘了 小球带电量为q

Answer 1

设磁场方向为z轴正方向,y轴竖直向上,小球从原点静止下落.
轨迹方程：x=A(1-(y+A)^2)^0.5-A*arccos(y/A+1)
其中A=mg/(qB^2).
这是一个旋轮线（摆线）的方程.相当于一个半径为A的轮子滚出的旋轮线.
计算如下：
小球受力F=mg+qv*B （这个式子F,g,v,B为矢量,*表示叉乘）
显然小球轨迹在xoy平面内,只用考虑xy方向受力,由牛顿第二定律：
x方向：x''=wy'
y方向：y''=-g-wx'
其中w=qB/m.x''表示x对时间求二阶导数,下同.
1式求一阶导数代人2式得到：
x'''+w^2(x'+wg)=0
解之并带入初始条件x(0)=0 x'(0)=Vx(0)=0 x''(0)=ax(0)=0
得到x=Asin(wt)-wAt
同理易得y=Acos(wt)-A
两式联立消去t即得轨迹方程
x=A(1-(y+A)^2)^0.5-A*arccos(y/A+1)