如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点．（1）求直三棱柱ABC-A1B1C1的全面积；（2）求异面直线AE与A1C所成角θ的大小（结果用反三

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA₁⊥底面ABC，且AA₁=2，E是BC的中点．
（1）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积；
（2）求异面直线AE与A₁C所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

（1）S△ABC＝(1)/(2)AB•AC＝(1)/(2)•1•1＝(1)/(2)，
S侧＝(AB+BC+AC)•AA1＝(1+√(2)+1)•2＝4+2√(2)，
∴S全＝2S△ABC+S侧＝5+2√(2)．
（2）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，则A₁E₁∥AE，即∠CA₁E₁即为异面直线AE与A₁C所成的角θ．
连接E₁C．
在Rt△E₁C₁C中，由E1C1＝(√(2))/(2)，CC₁=2
知A1C＝√((1)/(2)+4)＝(3√(2))/(2)
在Rt△A₁C₁C中，由A₁C₁=1，CC₁=2知A1C＝

作业帮用户 2017-11-16

问题解析

（1）利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、直棱柱的表面积计算公式即可得出；
（2）利用直角三角形的边角关系、余弦定理、异面直线所成的角即可得出．

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

考点点评：

本题考查了三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、直棱柱的表面积计算公式、直角三角形的边角关系、余弦定理、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和实践能力，属于基础题．

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