求证：根号2加1的整数次方必是两个连续整数的平方根的和EG:（√2+1）²=√9+√8（√2+1）³=√50+√49

Question

求证：根号2加1的整数次方必是两个连续整数的平方根的和
EG:（√2+1）²=√9+√8
（√2+1）³=√50+√49

Answer 1

1.根据二项式定理,将(√2+1)的n次方逐项展开,按照奇偶项分别相加可以形成√a+√b的形式,其中a和b是整数
2.同理,将(√2-1)的n次方逐项展开,按照奇偶项分别相加形成√a-√b的形式
3.因为(√2+1)(√2-1)=1,把等式两边同时n次方
=> (√2+1)n次方*(√2-1)n次方=1n次方=1
=> (√a+√b)(√a-√b)=1
=> a-b=1
=> a,b是连续的整数