已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[1e，1]，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得lnx-x+1+a=y2ey成立，则实数a的取值范围是（）A.[1e，e]B.（2e，e]C.（2e，+∞）D.（2e，e+1e）

Question

已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[

(1)/(e)，1]，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得lnx-x+1+a=y²e^y成立，则实数a的取值范围是（　　）

A. [

(1)/(e)，e]

B. （

(2)/(e)，e]

C. （

(2)/(e)，+∞）

D. （

(2)/(e)，e+(1)/(e)）

Answer 1

设f（x）=lnx-x+1+a，当x∈[(1)/(e)，1]时，f′（x）=(1-x)/(x)>0，f（x）是增函数，
∴x∈[(1)/(e)，1]时，f（x）∈[a-(1)/(e)，a]，
设g（y）=y²e^y，
∵对任意的x∈[(1)/(e)，1]，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得lnx-x+1+a=y²e^y成立，
∴[a-(1)/(e)，a]是g（y）的不含极值点的单值区间的子集，
∵g′_y（y）=y（2+y）e^y，∴y∈[-1，0）时，
若g′_y（y）<0，g（y）=y²e^y是减函数，
若y∈（0，1]，g′_y（y）>0，g（y）=y²e^y是增函数，
∵g（-1）=(1)/(e)<e=g（1），
∴[a-(1)/(e)，a]⊆（(1)/(e)，e]，
∴(2)/(e)<a≤e；
故选：B