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已知e为自然对数的底数,若对任意的x∈[1e,1],总存在唯一的y∈[-1,1],使得lnx-x+1+a=y2ey成立,则实数a的取值范围是()A.[1e,e]B.(2e,e]C.(2e,+∞)D.(2e,e+1e)
题目详情
已知e为自然对数的底数,若对任意的x∈[
,1],总存在唯一的y∈[-1,1],使得lnx-x+1+a=y2ey成立,则实数a的取值范围是( )1 e
A. [
,e]1 e
B. (
,e]2 e
C. (
,+∞)2 e
D. (
,e+2 e
)1 e
▼优质解答
答案和解析
设f(x)=lnx-x+1+a,当x∈[
,1]时,f′(x)=
>0,f(x)是增函数,
∴x∈[
,1]时,f(x)∈[a-
,a],
设g(y)=y2ey,
∵对任意的x∈[
,1],总存在唯一的y∈[-1,1],使得lnx-x+1+a=y2ey成立,
∴[a-
,a]是g(y)的不含极值点的单值区间的子集,
∵g′y(y)=y(2+y)ey,∴y∈[-1,0)时,
若g′y(y)<0,g(y)=y2ey是减函数,
若y∈(0,1],g′y(y)>0,g(y)=y2ey是增函数,
∵g(-1)=
<e=g(1),
∴[a-
,a]⊆(
,e],
∴
<a≤e;
故选:B
1 |
e |
1-x |
x |
∴x∈[
1 |
e |
1 |
e |
设g(y)=y2ey,
∵对任意的x∈[
1 |
e |
∴[a-
1 |
e |
∵g′y(y)=y(2+y)ey,∴y∈[-1,0)时,
若g′y(y)<0,g(y)=y2ey是减函数,
若y∈(0,1],g′y(y)>0,g(y)=y2ey是增函数,
∵g(-1)=
1 |
e |
∴[a-
1 |
e |
1 |
e |
∴
2 |
e |
故选:B
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