tan15°×tan25°×tan35°×tan85°=1我想知道具体的解答过程可不可以仅用诱导公式、半角公式、2倍角公式解决？

Question

tan15°×tan25°×tan35°×tan85°=1
我想知道具体的解答过程
可不可以仅用诱导公式、半角公式、2倍角公式解决？

Answer 1

本题确实较复杂,花了很长时间才做出来
解法如下
由三倍角公式
有 sin3a=3sina-4(sin^a)^3
cos3a=4(cosa)^2-3sina
tan3a=sin3a/cos3a=(3sina-4(sin^a)^3)/(4(cosa)^2-3sina) ****1
tan25°×tan35
tan(30-5)tan(30+5)
={(tan30-tan5)/(1+tan30tan5)}{(tan30+tan5)/(1-tan30tan5}
={1/3-(tan5)^2}{1-1/3(tan5)^2}
={1-3(tan5)^2}{3-1(tan5)^2}
=(4(cos5)^2-3)/(3-4(sin5)^2) ***2 (tan5=sin5/cos5
可以由右式 (sin5)^2+(cos5)^2=1整理
所以tan15°×tan25°×tan35
=****1 乘以****2 符号表示 约简
=tan5
所以tan15°×tan25°×tan35°×tan85°
=tan5*cot5=1