求推倒：如果A的一个多项式f（A）=0,则A的每个特征值λ都满足f（λ）=0

Question

求推倒：如果A的一个多项式f（A）=0,则A的每个特征值λ都满足f（λ）=0

Answer 1

令ɳ是A属于λ的特征向量,则有Aɳ=λɳ,
设 f（x）=an（x^n）+……+a1x+a0,则
0=f（A）ɳ=an（A^n）ɳ+……+a1Aɳ+a0ɳ
=an[A^（n-1）]（Aɳ）+……+a1（Aɳ）+a0ɳ
=λan[A^（n-1）]ɳ+……+a1λɳ+a0ɳ
…… …… ……
=an（λ^n）ɳ+……+a1λɳ+a0ɳ
=[an（λ^n）+……+a1λ+a0]ɳ
=f（λ）ɳ
由于ɳ是非零向量,所以一定有 f（λ）＝0