轮换式：例：分解因式：（x3+y3+z3）-3xyz.分析：当x=-y-z时,原式=0,由因式定理得原多项式有因式x+y+z,再由待定系数法分解.原式为三次齐次对称式.令x=-y-z,则原式=（-y-z）3+y3+z3-3(-y-z)yz=-(y+z)3+y3+

Question

轮换式：
例：分解因式：（x3+y3+z3）-3xyz.
分析：当x=-y-z时,原式=0,由因式定理得原多项式有因式x+y+z,再由待定系数法分解.
原式为三次齐次对称式.
令 x=-y-z,则
原式=（-y-z）3+y3+z3-3(-y-z)yz
=-(y+z)3+y3+z3+3y2z+3yz2
=0
由因式定理得,原式有因式x+y+z,
为什么由这就可设x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)[k1(x2+y2+z2)+k2(xy+yz+zx)].

Answer 1

对于x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)[k1(x2+y2+z2)+k2(xy+yz+zx)]这个等式,其实是用到了“待定系数法”
但是或者你会觉得等式右边为什么是这样,为什么呢,其实你要看分析,你给的分析是对的,因为只要（x+y+z）=0,（x3+y3+z3）-3xyz=0,所以（x3+y3+z3）-3xyz就有因式（x+y+z）,然后为什么是[k1(x2+y2+z2)+k2(xy+yz+zx)]来乘以（x+y+z）,因为一个三次的式子张开后一定有三次,二次,一次零次的多项式：三次（x3,y3,z3,xyz）,二次(x2,y2,x2,xy,xz,yz) 一次(x,y,z) ,零次(常数),但是他们的系数可能是零,比如在这题中,零次项的系数肯定是零因为等式的右边本来就没有常数,就有计算右边时有常数也肯定是整对出现而且可以抵消的.然而在这题中,所有的系数除了xyz是-3外,其他的都是零,所以比较好算,只要把 (x+y+z)[k1(x2+y2+z2)+k2(xy+yz+zx)]展开,一一对应就是了.
你可以尝试其他设法.