在平面直角坐标系中,o为坐标原点,已知点A(0,a),B(b,0),其中a,b满足关系式|a-2|+(b-3）的平方=0,将点B向上平移4个单位得到点C；（1）在X轴上是否存在点Q,使△ABQ的面积与△ABC的面积相等,若存在,求

Question

在平面直角坐标系中 ,o为坐标原点,已知点A(0,a),B(b,0),其中a,b满足关系式|a-2|+(b-3）的平方=0,
将点B向上平移4个单位得到点C；
（1）在X轴上是否存在点Q,使△ABQ的面积与△ABC的面积相等,若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由
（2）是否存在一点P（m,-1）,使AP+PC的距离最短?若存在,请求出该点坐标,如果没有请说明理由.

Answer 1

第一个问题：
∵点C是由点B向上平移4个单位得到的,∴BC∥y轴,且｜BC｜＝4.
∴只要满足｜AQ｜＝｜BC｜＝4,就有：S(△ABQ)＝S(△ABC).
由｜a－2｜＋（b－3）^2＝0,得：a＝2、b＝3.
∴点A、B的坐标分别为（0,2）、（3,0）.
∴点A到BC的距离d＝3.
∴S(△ABC)＝（1/2）｜BC｜d＝（1/2）×4×3＝6.
令点Q的坐标为（m,0）,则｜BQ｜＝｜m－3｜.
显然,点A到x轴的距离t＝2.
∴S(△ABQ)＝（1/2）｜BQ｜t＝（1/2）｜m－3｜×2＝｜m－3｜＝6,
∴m－3＝6,或m－3＝－6,∴m＝9,或m＝－3.
∴满足条件的点Q的坐标是（－3,0）,或（9,0）.
第二个问题：
点A（0,2）关于y＝－1的对称点显然是D（0,－3）.
很明显,点C的坐标为（3,4）.
∴CD的方程是：y＝［（4＋3）/（3－0）］x－3＝（7/3）x－3,
令其中的y＝－1,得：x＝6/7.
∴CD与y＝－1的交点为（6/7,－1）.
下面证明：点（6/7,－1）就是满足条件的点P.
∵A、D关于y＝－1对称,而点P（6/7,－1）在y＝－1上,∴AP＝DP.
∴AP＋CP＝AC.
在y＝－1上取点P外的任意一点E,则CDE是一个三角形,显然有：AE＋CE＞AC.
∴点P是在y＝－1上能使（AP＋CP）有最小值的点.
于是：满足条件的点P的坐标是：（6/7,－1）.