一个n阶行列式,主对角线上的元素都是x主对角线以上的元素都是a,主对角线以下的元素都是-a,求次行列式.xaaa.a-axaa.a-a-axa.a.-a-a-a-a.x

Question

一个n阶行列式,主对角线上的元素都是x主对角线以上的元素都是a,主对角线以下的元素都是-a,求次行列式.
x a a a.a
-a x a a.a
-a -a x a.a
.
-a -a -a -a.x

Answer 1

第1行乘以(-1),依次加到第2、3、……、n行,得
x a a a . a a
-a-x x-a 0 0 . 0 0
-a-x -2a x-a 0 . 0 0
-a-x -2a -2a x-a . 0 0
.
-a-x -2a -2a -2a . x-a 0
-a-x -2a -2a -2a . -2a x-a
再用第2行乘以(-1),依次加到第3、4、……、n行,得
x a a a . a a
-a-x x-a 0 0 . 0 0
0 -a-x x-a 0 . 0 0
0 -a-x -2a x-a . 0 0
.
0 -a-x -2a -2a . x-a 0
0 -a-x -2a -2a . -2a x-a
再用第3行乘以(-1),依次加到第4、5、……、n行,得
x a a a . a a
-a-x x-a 0 0 . 0 0
0 -a-x x-a 0 . 0 0
0 0 -a-x x-a . 0 0
.
0 0 -a-x -2a . x-a 0
0 0 -a-x -2a . -2a x-a
继续这样变换,直至将第n-1行乘以(-1)加到第n行,最后得到
x a a a . a a
-a-x x-a 0 0 . 0 0
0 -a-x x-a 0 . 0 0
0 0 -a-x x-a . 0 0
.
0 0 0 0 . x-a 0
0 0 0 0 . a-x x-a
按第一行展开,得
原行列式=x * [(x-a)^(n-1)]
- a * (-a-x) * [(x-a)^(n-2)]
+ a * [(-a-x)^2] * [(x-a)^(n-3)]
- a * [(-a-x)^3] * [(x-a)^(n-4)]
+ .
+ (-1)^(n-1) * a * [(-a-x)^(n-1)]
＝ x * [(x-a)^(n-1)]
+ a * (x+a) * [(x-a)^(n-2)]
+ a * [(x+a)^2] * [(x-a)^(n-3)]
+ a * [(x+a)^3] * [(x-a)^(n-4)]
+ .
+ a * [(x+a)^(n-1)]