线性代数设a是n元非齐次线性方程组AX=B的一个解,b1,b2,.bn-r是该方程组的导出组AX=O的一个基础解系,证明：a,a+b1,a+b2,.,a+bn-r线性无关

Question

线性代数
设a是n元非齐次线性方程组AX=B的一个解,b1,b2,.bn-r是该方程组的导出组AX=O的一个基础解系,证明：a,a+b1,a+b2,.,a+bn-r线性无关

Answer 1

证明：设k1a+k2( a+b1)+ .+k_(n-r+1)(a+bn-r)=0（1）
两边左乘以矩阵A,(k1+k2+……+k_n-r+1)B+k2Ab1 +k_n-r+1Abn-r=0
由于Abi=0(i=1,2,……,n-r),B≠0得k1+k2+……+k_n-r+1=0
将k1=-k2-k3-……-k_n-r+1代入（1）
k2b1+k3b2+……+k_(n-r+1)b_(n-r)=0
因为b1,b2,.bn-r线性无关,所以k2=k3=……=k_(n-r+1)=0代回（1）k1a=0,因为a不等于0,所以k1=0
所以k1=k2=……=k_(n-r+1)=0
比较简明的证法是证a,b1,b2,.,bn-r线性无关,这和题目结论等价.