求解非齐次线性方程,y''+4y=xsin2x,

Question

求解非齐次线性方程,y''+4y=xsin2x,

Answer 1

y''+4y=0的特征方程的根：r=2i和-2i
用复数法：考虑方程y''+4y=xe^(2ix)
2i是根,设y=(Ax^2+Bx)e^(2ix), y''=(2A)e^(2ix)+4i(2Ax+B)e^(2ix)-4(Ax^2+Bx)e^(2ix),代入：
(2A)e^(2ix)+4i(2Ax+B)e^(2ix)=xe^(2ix)
(2A)+4i(2Ax+B)=x 解得：A=-i/8 B=1/16
(Ax^2+Bx)e^(2ix)=(1/16)(-2ix^2+x)(cos2x+isin2x), 虚部= (1/16)(xsin2x-2x^2cos2x)
特y=C1cos2x+C2sin2x+(x/16)(sin2x-xcos2x)