如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点

Question

如图，椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，过 的直线交椭圆于 两点，  的周长为8，且 面积最大时， 为正三角形．

（1）求椭圆 的方程；
（2）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，证明：点 在以 为直径的圆上.

Answer 1

如图，椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，过 的直线交椭圆于 两点，  的周长为8，且 面积最大时， 为正三角形．

（1）求椭圆 的方程；
（2）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，证明：点 在以 为直径的圆上.

(1)  (2)证明过程详见解析

试题分析：
(1)利用椭圆的定义,可以得到三角形ABF ₂ 的周长即为2a,则可以得到a的值,由椭圆的对称性,可以得到 为正三角形当且仅当A点在椭圆的短轴端点,此时 ,则可得到c的值,再根据a,c,b之间的关系可得到b的值,进而得到椭圆E的方程.
(2)据题意,直线l与椭圆E相切于点P.设出点P的坐标,利用直线与椭圆相切,联立椭圆与直线的方程,判别式为0,即可用点P的坐标表示直线l的斜率,即得到直线l关于P坐标的表达式.联立直线l与直线x=4即可求出点Q的坐标,把P,Q的坐标带入 内积式,证得 即可.
试题解析：
(1)由题得,因为点A,B都在椭圆上,所以根据椭圆的定义有 且 ,又因为  的周长为8,所以
, 因为椭圆是关于x,y,原点对称的,所以 为正三角形当且仅当 为椭圆的短轴定点,则 , ,故椭圆E的方程为 .
(2)由题得,动直线l为椭圆的切线,故不妨设切点 ,因为直线l的斜率是存在且为 ,所以 ,则直线 ,联立直线l与椭圆E的方程得   , .则直线l的方程为 ,联立直线l与直线 得到点 ,则
,所以 ,即点M在以PQ为直径的圆上.