三角方程x²-2xsinα-2cos²α-3=0,其中α∈[0,π/2],求该方程的实数根的最大值与最小值.

Question

三角方程
x² - 2xsinα - 2cos²α - 3=0,其中α∈[0,π/2],求该方程的实数根的最大值与最小值.

Answer 1

x^2-2xsina+sin^2a-(sin^2a+2cos^2a+3)=0
(x-sina)^2-(1+cos^2a+3)=0
(x-sina)^2=4+cos^2a≥4
x=sina±√(4+con^2a)=sina±√(5-sin^2a)
显然最大值由sina+√(5-sin^2a)取得,最小值由sina-√(5-sin^2a)取得.
最小值很好确定,sina最小的时候√(5-sin^2a)取得最大值,即当sina=0时最小为-√5,此时a=0.
下面求最大值
设sina=t,则sina+√(5-sin^2a)=t+√(5-t^2).
令y=t+√(5-t^2).移项后两边平方得(y-t)^2=5-t^2,化简得y^2-2yt+2t^2-5=0
不想用导数,想试试坐标变换.还没做完,先保存到这里.