已知sin(α−β)＝513，sin(α+β)＝−45且α−β∈(π2，π)，α+β∈(3π2，2π)，求sin2α，cos2β的值．

Question

已知sin(α−β)＝(5)/(13)，sin(α+β)＝−(4)/(5)且α−β∈((π)/(2)，π)，α+β∈((3π)/(2)，2π)，求sin2α，cos2β的值．

Answer 1

∵α−β∈((π)/(2)，π)，α+β∈((3π)/(2)，2π)，
∴cos（α-β）=-(12)/(13)，cos（α+β）=(3)/(5)，
sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-(4)/(5)×（-(12)/(13)）+(3)/(5)×(5)/(13)=(63)/(65)；
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=(3)/(5)×（-(12)/(13)）+（-(4)/(5)）×(5)/(13)=-(56)/(65)．