一道因式分解难题,分解因式a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式,可用因式定理分解,易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式,而四次多项式还有一个因式,由轮换对

Question

一道因式分解难题,
分解因式a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b).
分析 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式,可用因式定理分解,易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式,而四次多项式还有一个因式,由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c,故可设a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数）,取,a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式好说,但第4个因式a+b+c是怎么想到的?答案中由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c 说得太快了,什么是轮换对称性?

Answer 1

其实这个很简单,首先是对称轮换式,即a、b、c三个对称轮换后结果不变,例如题中的a、b、c,假设a‘=b,b’=c,c'=a,所以a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=b'^3(c'-a')+c'^3(a'-b')+a'^3(b'-c')——（1）,此时,用a代替a',b代替b',c代替c',得到结果仍然使等式（1）成立,那么我们就叫原式为对称轮换式.对称轮换的意思就是此式中的各个数可以相互更换而结果不变.那么有次可得a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)X,X为一个方程式,由等式前为4次,可以得出X为一次对称轮换式,即X=a+b+c