积化和差和和差化积的推导这8个公式好像都是由一个公式推导来的.积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)

Question

积化和差和和差化积的推导
这8个公式好像都是由一个公式推导来的.
积化和差公式：
sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin cos
sinθ-sinφ=2cos sin
cosθ+cosφ=2cos cos
cosθ-cosφ=-2sin sin
学过太久了,实在记不得.手头又没有高中的数学书.网上也找不到.
求教各位大虾.

Answer 1

高中教科书上没有直接写积化和差和和差化积的公式，只给了课后的练习题，要你证明这些公式
证明是简单的，只需要把等式右边用两角和差公式拆开即能证明
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
=-1/2[（cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[-2sinαsinβ]
其他的也是相同的证明方法：
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
=2[sinθ/2cosφ/2+cosθ/2sinφ/2][cosθ/2cosφ/2+
sinφ/2sinθ/2]
=2cosθ/2sinθ/2+2sinφ/2cosφ/2
=sinθ+sinφ
其他的也是相同方法证明：
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
不难看出和差化积是积化和差公式推出来的。